Контактные задачи железнодорожного транспорта - Сосредоточенная  сила, приложенная в точке точке  границы границы  полупространства или полуплоскости

Раздел I
ГЕРЦЕВСКИЙ КОНТАКТ УПРУГИХ ТЕЛ
Глава 1
СОСРЕДОТОЧЕННАЯ СИЛА, ПРИЛОЖЕННАЯ В ТОЧКЕ ГРАНИЦЫ ПОЛУПРОСТРАНСТВА ИЛИ ПОЛУПЛОСКОСТИ
Задача анализа напряженно-деформированного состояния в точках полупространства, вызванного сосредоточенной силой, приложенной на его границе, занимает особое место в области приложений к решению контактных задач. При сжатии двух твердых упругих тел в окрестности точек их начального контактирования возникает пятно контакта, или несколько пятен. Часто геометрическое место точек, в которых тела контактируют между собой, называют поверхностью давления. Форма пятна контакта, его размеры и закон распределения нормальных сил или давлений по поверхности пятна контакта находятся с использованием основных уравнений теории упругости и ограничений, присущих контактной задаче. Одним из таких ограничений является условие непроникновения точек, лежащих на контактной поверхности, в противолежащее тело. Так как в это условие входят перемещения, вызванные контактными силами, возникает потребность их определения.
Перемещения точек в случае, если размеры тел и радиусы главной кривизны поверхностей тел в области контакта велики по сравнению с размерами пятна, определяются с использованием решения для сосредоточенной силы Р, приложенной на границе полупространства по нормали к его границе (см. рис. 1.1), полученного Буссинеском [94]. При определении перемещений точки, лежащей на контактной поверхности, от контактных сил, распределенных по некоторому закону, выполняется интегрирование перемещений от элементарных сил, которыми это распределение представляется. Разумеется, решение может использоваться в случае, когда каждое из тел может быть представлено в расчетной схеме полупространством. Интегралы, через которые выражаются в этом случае перемещения, получили название потенциальных функций Буссинеска — Черутти.
При решении контактных задач с трением возникает необходимость определения перемещений, деформаций и напряжений от касательной силы, приложенной на границе полупространства в следующих случаях:
во-первых, при сжатии двух тел, которые не являются квазиидентичными, примером идентичных тел могут быть два шара, диаметры которых равны, выполненные из материалов, имеющих одинаковые механические характеристики: модули упругости и коэффициенты Пуассона;
во-вторых, при приложении к сжатым телам касательных нагрузок (в этом случае можно рассматривать две разные задачи: одновременное приложение нормальной и касательной нагрузок, и последовательное - сначала нормальной, а затем касательной);
в-третьих, при решении задачи качения в условиях, когда на поверхности контакта действуют касательные нагрузки.
В последних двух случаях возникает необходимость определения тангенциальных перемещений точек, расположенных на поверхности контакта, от касательных нагрузок. Они находятся с использованием функций влияния, представляющих перемещения точек полупространства от единичной тангенциальной силы, приложенной на его границе. Решение для касательной сосредоточенной силы, приложенной на границе полупространства, рассмотрено в работах [24, 38].
Иногда контактную задачу удается решить с помощью плоских, или двумерных расчетных схем, например, в случае контакта цилиндров с параллельными осями. Контактирующие тела при этом представляются в виде двух полуплоскостей, если ширина полоски контакта мала по сравнению с радиусами цилиндров. Решение задачи для силы, приложенной по нормали или под некоторым углом к границе полуплоскости, получено Фламаном [24, 94] на основе решения Буссинеска для пространственного случая. Они находят применение в аналитических методах и быстрых алгоритмах решения контактных задач. В конечно-элементных методах они, как правило, не используются.