Содержание материала

поезд и железнодорожное полотно

Сакало В. И., Коссов В. С.
Контактные задачи железнодорожного транспорта. - М.: Машиностроение.
Рассмотрены решения контактных задач для узлов экипажной части подвижного состава железных дорог с учетом и без учета трения, шероховатости поверхностей, а также с большими перемещениями численными методами, имеющие большое практическое значение. Дано описание метода поузловых итераций, с применением которого решены прикладные задачи для колесных пар, буксовых узлов, а также для колеса и рельса. Приведены модели, используемые для прогнозирования износа колеса и рельса, и данные по эффективности смазывания рельсов различными материалами.
Для специалистов, занимающихся вопросами контакта упругих тел в условиях их качения, может быть полезна преподавателям, аспирантам и студентам.

ВВЕДЕНИЕ

Нормальная задача. Решение Герца.

Первое решение задачи о контакте двух твердых упругих тел при их статическом сжатии дано Герцем в 1882 г., что не было непосредственной целью его исследований [24]. Наблюдая картины интерференции, возникающие между поверхностями стеклянных линз, он пришел к выводу, что, если поверхности тел описываются уравнениями второго порядка, пятно, возникающего между ними контакта, имеет эллиптическую форму. Опираясь на знание теории электростатического потенциала, Герц воспользовался аналогией и пришел к выводу, что закон распределения контактных давлений, соответствующий такой форме пятна, должен быть эллипсоидальным.
Герц получил зависимости, позволяющие определять размеры пятен контактов и максимальные контактные давления. Они нашли исключительно широкое применение при оценке контактной прочности деталей подшипников качения, зубьев зубчатых колес, железнодорожных колес и рельсов, ходовых колес кранов, звеньев цепей и многих деталей машин. Следует отметить, что секрет такого успеха его решения не в том, что расчетные схемы этих объектов удовлетворяют допущениям, принятым при решении задачи Герцем, а в необходимости получения представления об уровне контактных напряжений с использованием простейших расчетных схем и простых инженерных методик расчета. Решения контактных задач для тел неправильных геометрических форм, клиньев, плит со скругленными ребрами и краями, с изношенными поверхностями, случаев, когда размеры контакта сопоставимы с размерами тел, когда контактирующие тела не могут быть представлены полупространствами, полученные позже, не приводят к столь простым расчетным зависимостям, в связи с чем не всегда можно воспользоваться ими.

Напряженное состояние в области контакта.

Напряженное состояние в области кругового контакта тел и случая первоначального касания цилиндров по линии исследовано в работах А. Н. Динника [25]. Позже было получено решение для эллиптического контакта в работах Н. М. Беляева [8], который сделал попытку получить решение в замкнутой форме для напряжений в любой точке области, прилегающей к эллиптическому контакту.  Однако ему удалось лишь выразить напряжения через весьма сложные интегралы. Более простые зависимости, нашедшие применение в инженерных расчетах, получены для точек, лежащих на поверхности контакта и на оси z, проходящей через центр контакта внутрь тела.
Круг плоских контактных задач, поддающихся решению, значительно расширился с появлением работ Н. И. Мусхелишвили и И. Я. Штаермана[104].

Плоская тангенциальная контактная задача.

После того как были достигнуты значительные успехи в решении нормальной контактной задачи, появилась возможность заняться задачей с приложением к сжатым телам сдвигающей нагрузки. В 20-х годах XX века были получены первые решения плоской задачи. И, как ни странно, первым появилось решение для задачи качения [113], которая представляется более сложной, чем случай статического приложения сдвигающей силы. Рассматривающий ее Ф. В. Картер не приводит математические доказательства существования по длине контакта участков сцепления и скольжения, а лишь постулирует, что они существуют, а участок сцепления прилегает к набегающему краю контакта. В связи с этим решение для распределения касательных сил получило наименование гипотезы Картера. Хотя в более поздней работе X. Фромма [127], где эта задача рассмотрена в более широкой постановке, показано, что в зависимости от соотношения радиусов контактирующих цилиндров и характеристик упругости их материалов на длине контакта могут появляться два участка скольжения, один из которых прилегает к набегающему краю контакта, а другой - к сбегающему. Независимо от этих работ решение плоской тангенциальной задачи как для статического контакта, так и для случая качения, получены в работах [115, 128, 139, 169].

Тангенциальная задача для кругового и эллиптического контактов.

Статическая тангенциальная задача для эллиптического контакта была решена К. Коттанео [120, 121]. Пожалуй, именно в этот период обозначаются три главные проблемы, рассматриваемые при решении контактных задач: определение законов распределения нормальных и касательных сил на поверхности контакта; анализ напряженно-деформированного состояния в области, прилегающей к контакту; определение начального смещения тел при приложении касательных сил для статического контакта и крипов, спина, сил крипа для контакта качения.
Напряженное состояние в точках эллиптической площадки контакта для случая скольжения одного тела по другому в предположении закона трения Кулона, т.е. от касательных сил, распределенных по эллипсоидальному закону, впервые исследовано Б. С. Ковальским [37, 38]. Полученное решение открывало хорошие возможности для решения статических задач и задач качения с неполным скольжением. Однако оно осталось малоизвестным, и эти задачи были решены позже другими исследователями. Прежде всего нужно назвать работу Р. Д. Миндлина [163], в которой дано решение для начальных смещений тел при круговом и эллиптическом контактах при приложении к телам сдвигающих сил и момента верчения. Эта работа примечательна тем, что в ней рассмотрено распределение касательных сил в контакте для случая, когда микропроскальзывания контактирующих точек имеют место на части контакта и когда они отсутствуют. Идея рассмотреть последний случай оказалась плодотворной. На ее основе затем были построены линейные теории крипа и спина для контакта качения.

Линейная и нелинейная теории крипа.

Сначала К. Л. Джонсоном была разработана линейная теория крипа для кругового контакта качения [141], а затем линейная теория спина [142]. Позже К. Л. Джонсон с П. Д. Вермеленом получили решение для напряжений в точках эллиптического пятна контакта от касательных сил, распределенных по эллипсоидальному закону, и на основе этого решения разработали нелинейную теорию крипа [143]. Она базируется на предположении, что участок сцепления имеет форму эллипса, подобного эллипсу, ограничивающему пятно контакта, и они имеют одну точку касания на набегающем крае. Но в еще более ранней работе [141] К. Л. Джонсон обратил внимание на то, что при такой схеме деления контакта на участки сцепления и скольжения на части площадки скольжения направления проскальзываний и касательных сил совпадают, что противоречит физическому смыслу. Кроме того, не удалось создать нелинейную теорию для общего случая качения с крипами и спином.

Теория полос. Упрощенная и точная теории.

Д. Хайнес и Е. Олдертон, исследовав контакт качения методом фотоупругости, пришли к выводу, что при перекатывании в условиях, когда на поверхности контакта действуют продольные касательные силы, участок сцепления прилегает к набегающему краю, причем скольжение отсутствует не в одной точке, а на дуге набегающего края [131]. Участок сцепления имеет лимонообразную форму, сепаратриса, разделяющая участки сцепления и скольжения, симметрична относительно поперечной прямой линии дуге набегающего края. Одновременно Д. Д. Калкером была предложена теория полос. Завершение теория полос получила в работе [145]. С. В. Пуун методом фотоупругости, а К. Л. Джонсон на резиновых моделях исследовали распределения касательных напряжений в контакте, имеющем форму круга, при перекатывании со спином. С. В. Пуун пришел к выводу, что область сцепления прилегает к набегающему краю контакта и имеет форму клина [168]. Аналогичный результат получен К. Л. Джонсоном [144].
Очевидно, что с получением этих результатов для контакта качения пришло и понимание того, что эту задачу нельзя решить на основе простых аналитических подходов. Тогда Д. Д. Калкером была разработана точная теория контакта качения, разумеется, точная в рамках принятых им допущений, которая была реализована в двух программных продуктах DUVOROL и CONTACT [146]. Теоретические предпосылки точной теории построены на использовании вариационных принципов с численной реализацией на сетке элементов, покрывающей пятно контакта.
Экспериментальные исследования показали, что разработанные программы обеспечивают достаточно высокую точность решения стационарной и нестационарной задач качения. Однако они требуют больших затрат машинного времени, что не позволяет использовать их при решении задач динамики движения железнодорожного экипажа по рельсам. При интегрировании дифференциальных уравнений движения программа на каждом шаге по времени должна с использованием данных о положениях колес на рельсах и величинах крипов и спинов, по крайней мере, в доли секунды вычислить значения сил крипа.
С этой целью Д. Д. Калкером была разработана упрощенная теория, в основу которой была положена прямопропорциональная зависимость между перемещениями точек в контакте, вычисляемыми через крипы и спин, и касательными силами [147]. Наконец, на основе теории полос и упрощенной теории была предложена теория, реализованная в программе FASTSIM [148], нашедшая широкое применение в расчетах динамики движения железнодорожных экипажей.
Предложенные Д. Д. Калкером теории разрабатывались для эллиптического контакта, хотя это ограничение и не оговаривалось. При контактировании колеса и рельса с изношенными профилями пятно контакта может иметь другую форму. В этом случае оно, как правило, заменяется эквивалентным эллиптическим, как это предложено в работах [133, 154].

Быстрые алгоритмы решения нормальной и тангенциальной задач.

Разумеется, в любом случае решению тангенциальной задачи предшествует решение нормальной контактной задачи, для чего используются быстрые алгоритмы [152, 158]. Как показано в работе [152], все эти методы, в том числе и решения тангенциальной задачи с помощью программы FASTSIM, могут быть использованы и для многоточечного контакта.

Напряженное состояние от касательных нагрузок.

Напряженное состояние в точках области, прилегающей к эллиптическому контакту, вызванное действием нормальных и касательных нагрузок, исследовано М. Д. Браянтом и Л. М. Киром [112].
Законы распределения касательных сил и характер деления поверхности контакта на участки сцепления и скольжения при качении со спином исследованы С. В. Пууном и К. Л. Джонсоном экспериментальными методами [144, 168].
Д. Л. Любкиным решена задача определения закона распределения касательных напряжений в точках поверхности кругового контакта при приложении к телам момента верчения и неполном скольжении и получена зависимость угла взаимного поворота тел от момента в работе [160].

Решение контактных задач для тел с шероховатыми поверхностями.

Во всех упомянутых решениях задач и с трением, и без трения предполагалось, что поверхности контактирующих тел являются гладкими. И это допущение оказалось существенным. При более пристальном изучении поверхностей, обработанных с использованием любых технологических приемов, на них обнаруживаются неровности: волнистость, шероховатость, субшероховатость. Реальный контакт тел происходит по выступам неровностей. Фактическая площадь контакта оказывается меньше номинальной. Одной из первых работ, в которой дано решение для контакта шероховатых номинально плоских поверхностей, является работа Д. А. Гринвуда и Д. Б. П. Вильямсона [129]. Затем Д. А. Гринвуд и Д. Х. Трипп [130] рассмотрели контакт двух шероховатых шаров.  Вскоре работы по исследованию контактной жесткости образовали целое научное направление. В России оно развивалось в работах И. В. Крагельского [42, 43], Н. Б. Демкина [22, 23], З. М. Левиной и Д. Н. Решетова [48], Э. В. Рыжова [76], А. Г. Суслова [91] и др. [86].
При разработке приближенных методов решения контактных задач с учетом шероховатости поверхностей предложено множество расчетных схем, моделирующих неровности: цилиндров, сфер, эллипсоидов, призм, пирамид и конусов со сферическими и усеченными вершинами, а также эмпирических зависимостей для определения жесткости стыков [48]. Для описания статистических распределений неровностей принят ряд параметров.
При использовании для решения контактных задач с учетом шероховатости конечно-элементных расчетных схем задача описания параметров неровностей упрощается. Решения контактной задачи для колеса и рельса с учетом микронеровностей их поверхностей, выполненные МКЭ, показали, что шероховатость оказывает существенное влияние на некоторые характеристики контакта. Так в работе [133] показано, что в зависимости от характеристик микронеровностей изменяется зависимость между крипами и силами крипа.
Авторы не ставят перед собой целью проследить историю развития методов решения контактных задач: упомянуты лишь немногие работы, на которые сделаны ссылки и результаты которых использованы в монографии. Более обширные сведения из этой области можно найти в литературных источниках [8, 15, 17, 18, 24, 38, 104, 149]. Значительное внимание уделено зарубежным публикациям в связи с тем, что на русский язык переведены лишь немногие из них.

ОСНОВНЫЕ УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

А - номинальная площадь контакта шероховатых поверхностей;
а, b- полуоси эллиптического пятна контакта;
А + В, В - С - величины, используемые в решении Герца при определении размеров эллиптического пятна контакта;
В, D- эллиптические интегралы;
В - матрица градиентов, связывающая узловые перемещения с полем деформаций;
с, d- полуоси участка сцепления в теориях, предполагающих, что он имеет форму эллипса;
Сij коэффициенты крипа;
D - матрица упругости;
E, G- модули упругости первого и второго рода;
е — эксцентриситет эллипса контакта;
Е' - приведенный модуль упругости;
f - коэффициент трения скольжения;
F- вектор узловых сил;
Fx, Fy- компоненты суммарной касательной силы в контакте двух тел;
F(φ,к), Е(φ,к) - неполные эллиптические интегралы первого и второго рода;
g - ускорение свободного падения;
I1, I2 - функции Бесселя первого и второго рода;
К(к), Е(к) - полные эллиптические интегралы первого и второго рода;
Кij - главная кривизна в точке поверхности твердого тела;
ki ,λ, μ - постоянные упругих свойств материала;
К- матрица жесткости ансамбля конечных элементов;
L - параметр податливости, связывающий касательную нагрузку и перемещение точки;
М - момент силы относительно точки или оси;
Μz - момент спина;
Ρ,Ν - нормальная суммарная сила в контакте двух тел;
р - нормальная контактная нагрузка (контактное давление);
Р0 - максимальное контактное давление;
qx,qy  - компоненты касательной контактной нагрузки;
q0 - максимальное значение касательной контактной нагрузки;
Rij - главный радиус кривизны в точке поверхности тела;
r - радиус-вектор точки в плоской задаче;
R - радиус-вектор точки в пространственной задаче;
Ra - среднее арифметическое отклонение профиля неровностей;
Rq,0- среднее квадратическое отклонение профиля неровностей;
s - средний шаг выступов профиля неровностей;
sx, sy -компоненты скорости относительного микропроскальзывания точек тел;
U - потенциальная энергия деформации тела;
U - вектор перемещений;
u, v, w - компоненты перемещения точки;
V - скорость качения;
vx, vу - компоненты скорости скольжения одного тела относительно другого;
х, у, z- координаты точки в декартовой системе отсчета;
w, α - сближение тел;
α, β - эллиптические координаты;
β - соотношение полуосей эллипса контакта;
γ - уравнение поверхности эллипсоида в безразмерных координатах;
γχy, γγz, γzx - компоненты относительной деформации сдвига;
εχ,εγ,εζ - компоненты относительной линейной деформации; ν - коэффициент Пуассона;
ξχ, ξγ - продольный и поперечный крипы;
р - средний радиус закругления вершин выступов;
р - полярная координата точки;
σχ,σγ,σζ - компоненты нормального напряжения;
σ1, σ2 ,σ3 - главные напряжения;
τxyyzzx - компоненты касательного напряжения;
τmax максимальное касательное напряжение;
φ - скорость верчения, отнесенная к скорости качения;
ψ - спин;
ω - угловая скорость верчения тела относительно нормали к поверхности тела в точке начального контакта.