6.2. Трансформация потока в станционных системах и подсистемах
Поток поездов, накапливаемых и формируемых на станции составов, групп вагонов, предназначенных для передачи в районы грузовой работы, можно однозначно определить (задать) двумя способами: распределением интенсивности потока, т. е. распределением числа событий, происходящих в интервале времени Т произвольной длины (этот интервал времени при статистическом исследовании потоков поездов изменялся в широком диапазоне), и распределением длительности интервалов между событиями — прибытием поездов, их расформированием, накоплением, формированием и т. д. Обычно используют оба способа задания потока с алгоритмизированной программной машинной системой обработки статистических наблюдений и аппроксимацией теоретическими законами [20]. При первом способе поток поездов, составов, групп вагонов как транспортный поток характеризуют набором функций распределения в отрезках времени Т.
(6.5)
Параметры потока под воздействием трансформаций, отказов и при приеме и пропуске могут быть существенно отличны от параметров исходного потока. Воздействие фаз обработки снижает или
повышает его неравномерность, и эти воздействия на различных фазах могут быть взаимно компенсированы, погашены или, наоборот, усилены. Поэтому при расчете устройств обработки потока (парков, горловин, сортировочных устройств, обосновании числа бригад ПТО и т. д.) необходимо знать именно те параметры, которые сложатся на входе соответствующей фазы обработки.
6.3. Законы распределения транспортного потока и основные параметры
Закон распределения устанавливают двумя способами: на основе известных сведений об изучаемом процессе выявляют и исследуют его характерные особенности и изучают степень их влияния на процесс и друг на друга или собирают и обрабатывают статистические данные, устанавливают примерный вид кривой статистического распределения, а затем подбирают несколько теоретических законов, имеющих подобные кривые плотностей вероятностей, из которых на основе критериев согласия выбирают распределение, наилучшим образом сглаживающее статистический ряд. Второй, эмпирический способ более трудоемок, но широко распространен в математической статистике, так как в большинстве случаев трудно выявить основные закономерности исследуемого явления и их взаимосвязь. В полной мере это относится и к транспортным потокам, имеющим сложную структуру и большое число взаимодействующих факторов.
Для аппроксимации числа транспортных единиц в единицу времени обычно используют биномиальный, нормальный и пуассоновский законы. Для сглаживания распределения интервалов между транспортными единицами применяют распределение Эрланга, в том числе обобщенное или сумму показательных, гамма-распределение, несколько реже экспоненциальное и геометрическое распределения. Математические выражения этих законов, а также их основных параметров распределения представлены в табл. 6.1, где приняты следующие обозначения: r — среднечасовая интенсивность потока поездов (составов); х — расчетное число поездов (составов) за время Т; σ — среднее квадратичное отклонение; WТ — максимально возможный поток поездов за время Т (пропускная способность); Imin — минимальный интервал между поездами по условию технической вооруженности участка; t — расчетное значение интервала между поездами; m — величина переменной — интервал t, выраженной в числе минимальных интервалов; к — параметр Эрланга; α, β — параметры гамма- распределения; Г (а) — гамма-функция от а.
Нормальный закон наиболее распространен в природе и различных областях человеческой деятельности. Ему подчиняются случайные величины, представляющие собой сумму большого числа независимых или слабо зависимых, также случайных величин. Дисперсии их малы по сравнению с дисперсией всей совокупности.
Виды распределений транспортных потоков
Примечание. ЗР—закон распределения.
Таблица 6.1
Нормальный закон является предельным для целого ряда других законов теории вероятностей.
С помощью биномиального закона распределения решают многие практические задачи. В его выражение входят два независимых параметра — число испытаний WT и Р — вероятность появления события при одном испытании. При использовании этого закона для аппроксимации транспортных потоков можно учитывать последействие, возникающее вследствие необходимости разграничивать транспортные единицы расстоянием и временем. При определенных условиях, указанных в табл. 6.1, биномиальный закон сводится к нормальному или пуассоновскому распределению.
Законом Пуассона характеризуют так называемые простейшие потоки, обладающие стационарностью, ординарностью и отсутствием последействия. Иногда его называют законом редких явлений. Он получил широкое распространение в математической статистике и особенно в теории массового обслуживания, имеет простое математическое выражение, в которое входит один параметр — математическое ожидание, дает хорошую сходимость между теоретическими и статистическими распределениями темпа движения поездов в малые периоды времени.
С пуассоновским тесно связан экспоненциальный закон: если число требований в единицу времени характеризует закон Пуассона, то распределение интервалов между транспортными единицами в простейшем потоке распределено по экспоненциальному закону.
Аналогичную связь можно установить между геометрическим и биномиальным распределениями. Однако при этом промежуток времени между требованиями измеряют целочисленным количеством минимальных интервалов. Как известно, в транспортных потоках распределение величины интервала является непрерывным. Поэтому применение геометрического распределения в качестве аппроксимирующего может быть допущено лишь при определенной степени условности. Геометрическое распределение неустойчиво, и поэтому его не используют для сглаживания потоков поездов с двух и более участков.
Одним из основных законов теории массового обслуживания является закон Эрланга. Применяют его для потоков с ограниченным последействием, характеризуют двумя параметрами: средней интенсивностью потока в единицу времени r и целочисленным коэффициентом Эрланга к. Кривая распределения вероятностей по форме близка к статистической, что и обусловило применение этого закона в качестве .аппроксимирующего для интервалов между поездами. Обобщенный закон Эрланга по сравнению с предыдущим имеет более широкий спектр кривых, что позволяет повысить степень сглаживания статистических данных. Наиболее часто применяют обобщенный закон Эрланга 1-го порядка (сумма двух показательных). Аналогичными качествами обладает и гамма-распределение, вследствие чего его также часто применяют для аппроксимации транспортных потоков.