При решении большинства практических задач, за редким исключением, возмущающие функции, описывающие неровности пути и колес, неизвестны, а задание их a priori в виде некоторых умозрительно составленных аналитических выражений часто не может быть принято даже для грубых расчетов колебаний экипажей.
Более надежно возмущающие функции могут быть описаны лишь с помощью теории случайных функций [104]. Поэтому в настоящее время широко используется метод расчета колебаний упругих систем при случайных возмущениях. При этом решается задача нахождения статистических характеристик колебаний системы на «выходе» (в нашем случае колебаний экипажа на рессорном подвешивании) при известных статистических характеристиках, «возмущающих» систему на ее «входе» (неровностей на пути или на колесах).
Такие решения могут быть осуществлены с использованием теории случайных процессов корреляционными методами и методами кинетических уравнений [105, 106].
Корреляционные методы основаны на использовании связи между корреляционными функциями или функциями спектральной плотности «входных» воздействий с «выходными» параметрами. Эти связи выражают при помощи дифференциальных, интегродифференциальных или конечных соотношений.
Корреляционные методы уже неоднократно применялись для исследования и решения задач о колебаниях железнодорожных экипажей и вообще транспортных средств [98, 99, 107, 108 и др.]. Они могут быть использованы, если статистические свойства возмущающих функций не зависят от времени (стационарны1). Их применение особенно эффективно, если возмущающие функции могут быть описаны случайным гауссовым процессом, а динамическая система линейна. Как известно, эти условия на практике при изучении колебаний подвижного состава выполняются не всегда или не полностью, а иногда и вообще не выполняются.
Методы кинетических уравнений основаны на рассмотрении уравнений, описывающих эволюцию функций распределения случайных процессов во времени (так называемые функции вероятности перехода). Эти методы хорошо разработаны для процессов без последействия (марковских процессов); отличительная особенность последних состоит в том, что в каждый данный момент времени дальнейший ход такого процесса обусловливается только состоянием его в этот момент и не зависит от характера течения процесса в предшествующий момент.
1 Случайная функция X(t) называется стационарной в широком смысле, если ее математическое ожидание и дисперсия постоянны, а корреляционная функция (см. ниже) зависит только от разности абсцисс (моментов времени), для которых взяты ординаты случайной функции. Если и все остальные вероятностные характеристики случайной функции не зависят от времени, то она называется строго стационарной.
Метод кинетических уравнений эффективен для задач, где «выходные» величины можно трактовать как компоненты некоторого многомерного марковского процесса. Впервые этот метод для исследования колебаний необрессоренных масс и надрессорного строения экипажей был использован в работе [19]. Однако сейчас почти во всех теоретических исследованиях колебаний надрессорного строения экипажей при их движении по случайным неровностям пути используют корреляционные методы. В основе этого математического аппарата лежат понятия корреляционной (автокорреляционной), взаимной корреляционной функции и спектральной плотности случайной функции X(t).
Теоретический расчет распределения вероятностей амплитуд колебаний экипажа при прохождении им заданного сечения пути, к сожалению, пока еще невозможен.
Остановимся на статистическом описании динамических процессов, связанных еще с одним видом возмущающих воздействий — неровностями на колесах. Следует отличать непрерывные и изолированные неровности на колесах. Первые из них монотонны и носят случайный характер на каждом колесе. Если учесть непрерывное в ходе движения экипажа проскальзывание каждой колесной пары по отношению к другим колесным парам, то картина возмущающих воздействий, возникающих при этом, становится еще более беспорядочной и переменной во времени; следовательно, получить достаточно полное значение реализаций неровностей под всеми колесами и при различных значениях их проскальзывания по рельсам в разные моменты времени, по-видимому, невозможно.
В первом приближении воздействие плавных непрерывных неровностей на колесе может быть описано в виде спектральной
плотности S(ω)=const в интервале частот от ω = 0 до
,
где Δ — время, в течение которого корреляция между двумя значениями функции возмущающего воздействия обращается в нуль. Такие спектральные плотности носят название ограниченного по частоте «белого» спектра, или «белого» шума.
Экспериментами установлено, что максимальная частота перемещений буксы экипажа при наличии неровностей на поверхности катания колес не выходит за пределы частоты 300 с-1. Поэтому целесообразно спектр возмущающего фактора S(ω) (непрерывных неровностей на колесах) принимать в пределах частот от 0 до 300 с-1; ордината S(ω1) зависит от допускаемых значений износа колесных пар и в первом приближении может быть принята равной 1—2 мм2-м-1.
Колебания надрессорного строения, вызываемые наличием на поверхности катания одного или нескольких колес экипажа изолированных неровностей, целесообразно рассчитать и исследовать не стохастическими, а детерминистическими методами, описанными в разделе 3.3.1.. При этом следует предполагать периодическое (с периодом, равным обороту колеса) приложение к экипажу на заданных колесах силового воздействия, соответствующего размерам неровностей на колесах.
Стохастические методы исследования вертикальных колебаний экипажей имеют большое практическое значение, особенно при проектировании и создании новых типов экипажей. С их помощью можно и нужно оптимизировать динамические параметры экипажей и прежде всего их ходовые динамические качества. Они могут оказать помощь в выборе значений жесткости рессорного подвешивания, параметров гасителей колебаний и других геометрических и инерционных параметров, обеспечивающих работу экипажа при колебаниях в рамках заданных частот с заданными для них амплитудами и ускорениями.
Однако и стохастические методы исследования вертикальных колебаний надрессорного строения экипажей способны дать скорее качественную, чем абсолютную количественную оценку динамических процессов заданного движущегося экипажа данного типа.
Рис. 59. Огибающая возможных значений АЧХ у вагонов с различным уровнем загрузки: линия АВС— АЧХ для полностью загруженного вагона; DEF—АЧХ для порожнего вагона; ABEF — огибающая возможных максимальных значений АЧХ
По ряду причин даже для заданного типа экипажа не может быть функционально точно определена АЧХ. Так, например, почти у каждого из видов (даже типа) грузовых вагонов в эксплуатации значение массы кузова колеблется в широких пределах (от массы порожнего кузова до массы его при полном использовании грузоподъемности). Вместе с этим имеются различия у вагонов по положению центра тяжести погруженных в них грузов. Это в известной мере относится и к локомотивам (например, масса тепловоза зависит от массы запаса топлива, песка, смазки). Все экипажи одного и того же типа могут различаться по техническому состоянию тележек (различие в жесткостях рессорного подвешивания по колесам, различие в параметрах гасителей колебаний, в отношениях параметров жесткости к силе сопротивления гасителей по тележкам, по осям и т. п.).
Учитывая это, можно говорить лишь о возможности описания АЧХ экипажа как статистической характеристики в виде поверхности, горизонтали по которой устанавливают вероятность достижения АЧХ тех или иных значений. В этом случае сечение АЧХ плоскостью по какой-либо частоте ω представляет собой кривую плотности распределения вероятностей амплитудной характеристики по этой частоте.
Пока эта идея еще не осуществлена, поскольку для ее осуществления необходимо получение большого статистического материала по изменяемости характеристик экипажей в эксплуатации. Однако уже сейчас теоретически можно оконтурить поле возможных значений модуля АЧХ для различных экипажей. Для этого достаточно оценить, например, для грузовых вагонов значения модуля АЧХ для порожнего и груженого состояния при значениях жесткостей и сопротивления гасителей, дающих максимальную верхнюю и минимальную нижнюю границы АЧХ для этих состояний. Пример такого построения модуля АЧХ для типового полувагона на тележках ЦНИИ-Х3 показан на рис. 59; показано поле значений модуля АЧХ по галопированию этого грузового полувагона.
Кроме того, из рис. 57, а видно, что даже для одного и того же участка пути после прохода по нему некоторого количества груза (пропущенного тоннажа) спектральные плотности неровностей существенно изменяются; очевидно, при этом изменяются автокорреляционные и взаимные корреляционные функции.
Рассмотрим на примере, как это может отразиться на спектральной плотности колебаний экипажа. Если, например, в расчетах колебаний вагона использовать поле спектральных неровностей пути в продольном профиле (см. рис. 57, а) в процессе пропуска по пути груза до 520 млн. т, а также модуль ЧХ груженого полувагона на тележках ЦНИИ-Х3 (при демпфировании 2ξ=8 с-1), то легко получить поле значений спектральной плотности колебаний подпрыгивания этого вагона (рис. 60). Из рис. 60 очевидна возможность существенного изменения характера колебаний в процессе изменения состояния пути.
Рис. 60. Область возможных изменений спектральных плотностей колебаний подпрыгивания грузовых нагонов (А), полученная расчетом по АЧХ и спектральным плотностям неровностей пути (при полной загрузке кузова) при скорости υ=27,78 м/с (100 км/ч) в зависимости от состояния пути
Дисперсия колебаний только подпрыгивания (т. е. без учета галопирования и боковой качки вагона) может возрасти с 1,06 до 3,6 мм2.
Этот диапазон изменения дисперсий в действительности еще больше указанного, так как в расчетах не учтены были такие важные факторы, влияющие на амплитуды и частоты вынужденных колебаний надрессорного строения экипажей, как различие в конструкциях пути (путь на деревянных или железобетонных шпалах, мощность рельсов, наличие упругих элементов рельсовых скреплений и т. п.). При оценке изменчивости колебаний экипажей не следует сбрасывать со счета и неточности, обусловленные линеаризацией связи в самой модели при построении АЧХ, а также в известной мере нестационарность возмущающих воздействий и изменения в размерах и формах неровностей пути из-за переменного силового воздействия экипажа на путь.
Для получения так называемых входных воздействий на систему (экипаж) неизбежно выполнение очень большого объема экспериментальных работ по определению статистических характеристик этих входных воздействий (автокорреляционных, взаимных корреляционных функций, спектральных плотностей и др.) на весьма большом протяжении сети в разных условиях эксплуатации (зимой, летом, в разные периоды службы по износу и т. п.).
Несмотря на все это, только стохастические методы исследования колебаний надрессорного строения могут на стадии проектирования нового подвижного состава дать представление о влиянии каждой из конструктивных характеристик экипажа на характеристику его колебаний при некоторых стандартных статистически типичных для сети дорог неровностях пути и других возмущающих факторах. Однако от этого метода не следует ожидать получения большой точности количественных статистических значений амплитуд колебаний и возникающих при этом ускорений в экипаже. Эту задачу лучше решать экспериментально-расчетным путем.