Влияние типа и количества погрузочно-разгрузочных машин на простой подвижного состава под грузовой операцией и в ожидании ее
Теория массового обслуживания (называемая за рубежом теорией ожидания или очередей) позволяет решить вопрос: до каких пределов выгодно повышать интенсивность использования пропускных способностей, в каких случаях нужно или, наоборот, не нужно осуществлять большие затраты для ликвидации задержек в обслуживании (очередей).
Цель теории массового обслуживания — анализ процесса образования очередей, определение взаимосвязей между их основными характеристиками и нахождение оптимальных режимов их протекания.
Сменная эксплуатационная производительность одноковшового экскаватора, подающего грунт из котлована в отвал, как показывает опыт, всегда выше, чем при погрузке в автосамосвалы. Главной причиной этого являются перерывы в работе экскаватора в течение смены из-за отсутствия автосамосвалов. Следовательно, при выборе типа экскаватора и определении эксплуатационных и приведенных расходов нужно учесть их увеличение в связи с простоем экскаватора в ожидании подхода автосамосвалов, а также стоимость их простоя под грузовой операцией и в ожидании ее выполнения. Аналогичная задача возникает и при определении типа и количества машин на железнодорожном, водном, автомобильном и воздушном транспорте. Для этих видов транспорта характерно следующее: моменты прибытия транспортных единиц, как правило, не могут быть абсолютно точно предсказаны; длительность обслуживания резко меняется в зависимости от вида перевозимых грузов и выполнения перевозок во времени; обслуживающие устройства имеют непостоянную нагрузку, и в результате происходит чередование силь но и слабо загруженных промежутков времени τ3 или отсутствия требований τ0 (рис. 13.1). Это приводит к образованию очередей в периоды перегрузки системы и периодов простоя погрузочно- разгрузочных машин. В обоих случаях создаются экономические потери. Задача теории состоит в том, чтобы разработать систему мероприятий, позволяющих сократить эти потери до минимума.
Длительность грузовой операции, как правило, является случайной величиной, которая колеблется вокруг среднего значения.
Очередь появляется, если поступления требовании на обслуживание и самообслуживание происходят в нерегулярные промежутки времени. Очередь возникает также (и может расти до бесконечности) при постоянном времени обслуживания и регулярном поступлении требований, если время обслуживания больше промежутка времени между поступлением следующих друг за другом требований.
Для определения времени простоя автомобилей, судов и т. п. в ожидании погрузки в них грузов, либо выгрузки их необходимо применять методы теории массового обслуживания.
Пользуясь теорией массового обслуживания, можно принять конкретные меры по реорганизации обслуживающей системы в пунктах погрузки грузов в подвижной состав и выгрузки из него с целью улучшения качества ее функционирования. Часто для этою не требуется дополнительных материальных затрат.
В теории массового обслуживания последовательность событий, происходящих одно за другим, называется потоком событий. Примером такого потока служит поступление требований на обслуживание. Этот поток является входящим и может состоять из одиночных требований (поступление самолетов, грузовых автомобилей, судов к обслуживающим устройствам) и групповых (прибытие состава из нескольких барж или вагонов с одним грузом и т. д.). Число требований в группе может быть постоянным или переменным.
Если требования поступают в систему обслуживания независимо друг от друга и от числа ранее поступивших требований, то такое положение носит название отсутствие последействия
Совокупности, из которых требования (автомобили, суда, железнодорожные маршруты) поступают в систему обслуживания и являются источником входящего потока требований (рис. 13.2), могут быть бесконечные (некоторые авторы называют их открытые, неограниченные, разомкнутые) и конечные (закрытые, ограниченные, замкнутые). На рис. 13.2 показана схема системы массового обслуживания в общем случае.
Количество требований — судов, поступающих в порты Черного, Балтийского морей, — весьма большое, а количество их, поступающих в порты Аральского моря, — ограниченное. На рис. 13.3 показана схема замкнутой системы массового обслуживания, с ожиданием на вход в которую поступают требования из ограниченной совокупности, а на рис. 13.4 — схема распределения ограниченного числа автосамосвалов, осуществляющих перевозки в замкнутой системе.
В реальных транспортных процессах поступление требований бывает стационарным (рис. 13.5), т. е. средняя интенсивность прибытия автомобилей на склады грузоотправителем для каждого отрезка времени остается одинаковой или изменяется по непериодическому закону (рис. 13.5,б), по периодическому закону (день и ночь или зима и лето) (рис. 13.5, в, г). Все последующие формулы приведены для стационарного входящего потока транспортных единиц — автомобилей, судов, маршрутов.
На автомобильном, водном, воздушном, железнодорожном и промышленном транспорте встречаются системы однофазного и многофазного обслуживания с ожиданием, с потерями, с ограничениями на время ожидания и пребывания требований в системе обслуживания. Если между фазами многофазной системы обслуживания допускается неограниченная очередь, то каждая фаза такой системы может рассчитываться самостоятельно.
Наиболее часто на транспорте встречаются открытые и закрытые системы с ожиданием, на вход которых поступают одиночные требования, которые обслуживаются индивидуально или группами, а также системы, в которые одновременно поступают группы требований, каждое из которых обслуживается индивидуально или группами постоянного или случайного состава. Здесь имеют место как одномерные входящие потоки — все требования одинаковые, так и многомерные.
Для применения методов теории массового обслуживания достаточными являются такие исходные данные: характеристики входящего потока (распределение длительности промежутков времени между последующими требованиями, зависимость или независимость этих промежутков), распределение длительности обслуживания и число обслуживающих устройств.
На рис. 13.6 показано распределение требований в системе с несколькими обслуживающими устройствами. Наличие общей оче реди к ним значительно сокращает количество требований в систе ме по сравнению с очередью к каждому устройству. Поэтому в даль нейшем все формулы приводятся для общей очереди.
Рис. 13.2. Схема системы с ожиданием в общем случае при конечном или бесконечном числе требований, циркулирующих в системе массового обслуживания
Рис. 13.3. Схема замкнутой системы массового обслуживания с ожиданием, требования поступают из ограниченной совокупности
Рис. 13.4. Схема распределения состояний ограниченного числа автосамосвалов, осуществляющих перевозки в замкнутой системе
Рис. 13.5. Виды случайных потоков:
а — стационарный; б — нестационарный; в — периодический; г — различной интенсивности в разные периоды
Случайные явления имеют вероятностные закономерности.
Их необходимо учитывать при определении производительности и оп тимального использования погрузочно-разгрузочной машины по времени, при котором не возникают чрезмерные простои прибывших па грузовой двор автомобилей или железнодорожных маршрутов в ожидании разгрузки или погрузки, длины погрузочно-разгрузочных фронтов. Существует определенная зависимость, например, между средним количеством входящих в состав передаточного поезда вагонов с определенным грузом, поступающего с сортировочной станции на грузовой двор, и числом ватонов в отдельных передачах.
Если р=т:п вероятность прибытия и передаче четырехосной платформы с контейнерами (средняя доля или процент таких случаев), то вероятность противоположного события, что таких платформ в передаче не будет, q = 1 — р.
Вероятность р(т) осуществления события, что при п четырехосных вагонов в передачах число четырехосных платформ с контейнерами будет наблюдаться т раз, если вероятность его появления в каждом отдельном случае одна и та же р, определится по формуле биноминального распределения:
(13.5)
Умножая вероятность р(т) на общее число передач в году N, получим их количество, в которых не будет ни одного вагона с данным грузом, один, два и т. д. вагонов
(13.6)
Таблица для определения вероятностей суммарных значений при биноминальном законе распределения (см. Падня В. А. Применение массового обслуживания на транспорте).
В практической работе и при проектировании станций большое значение имеет правильное определение длины выгрузочного пути на промежуточных станциях, куда грузы доставляются одним сборным поездом и маневры выполняются поездным локомотивом, а также на грузовых дворах, не имеющих прикрепленных маневровых локомотивов. Эту задачу можно решить с помощью закона биноминального распределения, если известно, что вероятность нахождения в данном поезде (или передаче) т вагонов с данным грузом из общего числа вагонов в составе п не зависит от того, сколько таких вагонов прибыло с предыдущими поездами (либо передачами).
При биноминальном распределении признака, например числа физических вагонов п в составе передачи или прибывшего сборного поезда, среднее число вагонов с этим грузом т = пр, мера рассеяния этой величины дисперсия npq, среднее квадратическое отклонение √npq, только в 2% случаев число этих вагонов превысит среднее число их в составе:
(13.7)
Если вагоны с определенным грузом, подлежащим выгрузке на определенном фронте, прибывают в составах, имеющих более 50 физических вагонов, то для упрощения вычислений целесообразно перейти к нормальному распределению.
Таблица 13.3
Максимальное количество маршрутов в сутки и максимальный интервал между ними при различном среднесуточном прибытии маршрутов
Вместимость бункера, подающего груз в автомобиль или железнодорожный маршрут, должна содержать продукции больше, чем максимальный интервал разрыва, определяемый формулой (13 12) или (13.13).
Если интенсивность поступления требований не зависит от числа их в системе обслуживания, то на основании принципов статистического равновесия для стационарного процесса и установившегося режима выведены формулы для определения средних значений длины очереди, а также длительности обслуживания, ожидания и пребывания требования в системе обслуживания при различных распределениях продолжительности обслуживания
Индивидуальное поступление требований и индивидуальное об служивание. Примерами могут служить заправка автомобилей на бензозаправочных станциях или погрузка грузов в автомобили и выгрузка из них. В случаях когда не производится взвешивание автомобилей — порожних и с грузом, имеется однофазная система обслуживания.
Рассмотрим однофазную полнодоступную систему массового обслуживания с ожиданием, состоящую из С идентичных устройств одинаковой производительности, каждое из которых может одновременно обслужить одно требование. Из разомкнутой системы с неограниченным числом требований в случайные моменты времени через независимые, одинаково распределенные интервалы времени поступает стационарный, без последствий, входящий поток одиночных требований. Промежутки времени, разделяющие любые два соседних поступления требований, взаимно независимых и одинаково распределенных (описываются одним и тем же законом распределения длительности интервалов) с параметром входящего потока требований λ. Начальное число требований в системе обслуживания равно нулю. Если все устройства системы заняты обслуживанием ранее прибывших требований, то вновь прибывшее требование становится в очередь и ожидает до тех пор, пока не освободится одно из обслуживающих устройств. Следовательно, допускается образование неограниченной общей очереди ко всем устройствам с естественной дисциплиной обслуживания по принципу «первым пришел, первым обслужен». Если очереди нет, обслуживающие устройства простаивают до прибытия очередного требования. Каждое требование занимает отдельное устройство на случайное время. Длительности обслуживания последовательных различных требований имеют общее распределение произвольного вида, не зависящее от времени, затраченного на обслуживание предыдущих и последующих требований, и являются независимыми в совокупности одинаково распределенными случайными величинами.
Средние значения времени ожидания требования, продолжительности пребывания его в системе обслуживания, количества требований в очереди и в системе обслуживания при пуассоновском входящем потоке и в открытой системе определяются по формулам, приведенным в табл. 13.4. При показательном и постоянном распределении интервалов прибытия транспортных средств.
Одновременное групповое поступление требований на обслуживание, каждое из которых обслуживается индивидуально и покидает систему по окончании обслуживания. На причалы или другие погрузочно-разгрузочные устройства требования часто поступают группами, например на водном транспорте — речными составами из несамоходных барж, на железнодорожном — составами вагонов или поездами. Число требований в группе, например число барж с рудой в речном составе, подлежащих выгрузке на С причалах порта, каждый из которых обслуживает одновременно по одной барже, может быть постоянной или случайной величиной.
В систему массового обслуживания, состоящую из С одинаковых устройству случайные моменты времени через независимые одинаково распределенные интервалы времени поступает стационарный без последствий неординарный поток требований. Число одновременно поступающих требований в прибывающей группе постоянное или случайное. В последнем случае количество требований, прибывающих одновременно в группе, имеет конечное среднее значение и дисперсию oj. Число требований в каждой из прибывающих групп взаимно независимо и одинаково распределено (описываются одним и тем же законом распределения). Параметр входящего потока групп требований λ. Начальное число требований в системе обслуживания равно нулю. Любое требование занимает отдельное устройство на случайное время с общей для всех требований функцией распределения. В тех случаях, когда в момент прибытия группы все устройства заняты обслуживанием требований, прибывших раньше, вновь прибывшая группа требований становится в очередь вслед за всеми ранее прибывшими требованиями и может ожидать обслуживания сколько угодно времени, пока не освободится любое из обслуживающих устройств. Иначе говоря, допускается образование неограниченной общей очереди ко всем устройствам с естественной дисциплиной обслуживания
Пока очереди нет, обслуживающие устройства простаивают до прибытия очередной группы требований. Если в очереди на обслуживание имеются требования, то между концом обслуживания одною требования и началом обслуживания следующего нет никакого свободною промежутка времени. Размеры поступающих в систему обслуживания групп требований являются независимыми одинаково распределенными величинами.
Обслуживание осуществля ется индивидуально с интенсивностью, причем длительности обслуживания последовательных требовании имеют общее распределение произвольного вида, не зависящее от времени, затраченного на обслуживание предыдущих и последующих требований. Следовательно, продолжительности обслуживания являются независимыми в совокупности одинаково распределенными величинами. Требования разных групп обслуживаются в порядке поступления групп в систему, а требования из одной группы обслуживаются в произвольном порядке. Среднее время ожидания начала обслуживания каждого требования состоит из времени ожидания начала обслуживания группы τ, с которой это требование прибыло, и времени ожидания требования в группе. Под временем ожидания группы подразумевается время, необходимое для обслуживания всех требований, прибывших ранее. Обслуженное требование покидает систему обслуживания или ожидает окончания обслуживания всех требований, прибывших в данной группе, и вся обслуженная группа покидает систему одновременно. В дальнейшем рассмотрим лишь первый случай.
В табл. 13.7 приведены формулы для определения среднего числа требований в очереди и в системе обслуживания, времени ожидания и пребывания в системе одного требования при различных законах распределения продолжительности обслуживания.
Если требования поступают в группах постоянного состава, что часто имеет место на речном и железнодорожном транспорте, то в формулах табл. 13.7 дисперсия числа требований в группе равна нулю.
Для случая, когда требования поступают по одному q = 1, формулы приведены в табл. 13.4.
Обслуживание с абсолютным и относительным приоритетом.
Часто к погрузочно-разгрузочным устройствам поступает неоднородный входящий поток требований, например, автомобилей различной грузоподъемности, которые могут отличаться либо определенной стоимостью 1 ч простоя, либо законом распределения длительности обслуживания и его средним значением, либо обоими признаками одновременно.
Возникает задача выбора требования на обслуживание, в мо мент освобождения погрузочной машины из числа стоящих в очереди, чтобы средняя стоимость ожидания для всех требований была наименьшая.
При относительных приоритетах в момент окончания очередного обслуживания требования на обслуживающее устройство поступает важнейшее требование из числа ожидающих. Если бы дисциплина обслуживания была с абсолютным приоритетом (т. е. предпочтение отдавалось первому потоку ί < j), то на наличие абсолютного приоритета указывал бы индекс и допускалось прерывание текущего обслуживания в момент поступления в систему более важного требования. В одних случаях требование, обслуживание которого прервано, теряется или прерванное обслуживание возобновляется сначала, или прерванное обслуживание продолжается с того момента, когда оно было прервано. Последний случай часто встречается на транспорте при выполнении погрузочно-разгрузочных работ.
В случае абсолютного приоритета, когда N пуассоновских потоков требований поступают из неограниченной совокупности, законы распределения продолжительности их обслуживания различные, возможна очередь требовании, обладающих приоритетом или несколькими классами приоритетов, среднее число требований j-го класса в системе в стационарном режиме (который существует при
:
(13.31)
Среднее время пребывания в системе имеет вид:
При дисциплине обслуживания с абсолютным приоритетом наличие требований более низкого приоритета никак не влияет на показатели обслуживания, поэтому все аналитические выражения для требований, обладающих абсолютным приоритетом, полностью совпадают с зависимостями для одного потока требований.
Выход из строя обслуживающего устройства может произойти в период обслуживания требования и в период отсутствия требования на обслуживание. Требование возвращается на первое место в очереди и обслуживается или дообслуживается с прерванного места после устранения неисправности обслуживающего устройства.
Рассмотрим влияние внезапных отказов погрузочно-разгрузочной машины, которые происходят в периоды, когда машина занята обслуживанием, на продолжительность пребывания подвижного состава под грузовой операцией и в ожидании ее. Погрузочно-разгрузочная машина не обладает абсолютной надежностью, поэтому необходимо учитывать увеличение простоя автомобилей в пунктах погрузки и выгрузки в результате внезапных отказов погрузочной машины и затрат времени, необходимого для отыскания и устранения неисправностей.
Внезапные отказы автопогрузчика либо другой погрузочной машины, когда загрузка либо разгрузка автомобиля прекращается и возобновление ее происходит через случайный промежуток времени после обнаружения и устранения причины отказа, следует рассматривать как требования с абсолютным преимуществом, обладающие приоритетом первого класса.
Работа погрузочной машины, производящей загрузку (разгрузку) автомобиля, рассматривается как требование, имеющее второй класс преимущества, а внезапные отказы — как требование первого класса, имеющее абсолютное преимущество.
Приведем другой пример, где может использоваться математическая модель абсолютного приоритета на транспорте. В морских и речных портах при скорости ветра свыше 12 м/с прекращается работа портальных кранов, и суда, находящиеся под обработкой, простаивают по метеорологическим причинам. Вполне понятно, что такой ветер может быть и при отсутствии судов под обработкой. Как показывают метеорологические наблюдения, частота появления таких ветров и их продолжительность подчиняются показательному распределению.