Надежность тягового состава - Идеализированные модели отказов

Мгновенное повреждение.

Эта схема характеризуется следующими исходными положениями и условиями [7, 10].
Все однотипные объекты в эксплуатации способны выдержать некоторую предельно допустимую нагрузку Sп. Эта способность объектов считается неизменной в течение всего времени эксплуатации, т. е. Sп=const. Иначе говоря, предшествующее использование каждого объекта не влияет на свойства объекта в его последующей эксплуатации. Действующая на объект нагрузка непрерывно, относительно плавно и случайным образом изменяется, как это изображено на рис. 6. Пусть это изменение характеризуется свойствами асимптотической независимости и стационарности.

Отсутствие направленности изменения нагрузки S(t) по мере нарастания времени работы есть свойство стационарности. Средний уровень нагрузки Sср не изменяется со временем, остается постоянным для всех объектов, находящихся в эксплуатации.

Рис. 6. Модель возникновения отказа в схеме мгновенного повреждения
В этих условиях нагружения возможен случай, когда нагрузка в одном из «пиков» превышает допустимый уровень Sп и при S(τ=t)>Sп наступит отказ объекта. Очевидно, что время до первого пересечения τ будет величиной случайной в силу указанных свойств асимптотической независимости и стационарности нагрузки, τ — время безотказной работы объекта, а распределение этого времени в данном случае характеризуется экспоненциальным законом.
Действительно, из исходных положений неизменности свойств изделия следует, что в данном случае функция φ(t) =λ=const, т. е. интенсивность отказов не зависит от времени. Подставляя φ(t)=λ в формулы (19) и (20) общего вида закона, получим дифференциальную и интегральную формы экспоненциального закона распределения:

В табл. 1 были приведены формулы связи математического ожидания и дисперсии распределения с параметром λ, а на рис. 7 представлены графики плотности вероятностей и интегрального закона.
Модель мгновенных повреждений и полученные формы ее математического вероятностного описания соответствуют некоторым идеализированным представлениям об условиях эксплуатации и свойствах объектов. В теории надежности [7] указаны и другие, более реальные схемы, хорошо описываемые законом экспоненциального распределения.

Рис. 7. График экспоненциального закона распределения при λ=1

Рис. 8. Модель мгновенного повреждения с порогом чувствительности
Так, например, объекты могут иметь зависимость φ(t)= =λ=const не на протяжении всего срока службы, а в течение периода времени после окончания приработки t1 до момента наступления процесса старения t2. 
Если такие объекты устанавливают для эксплуатации в некоторой системе после приработки и используют в течение времени (t2—t1), т. е. заменяют их после наработки t2, то время безотказной работы таких объектов при эксплуатации системы будет распределено по экспоненциальному закону. Между тем, закон распределения наработки до отказа таких объектов, определенный по данным за полный срок их службы, уже не будет экспоненциальным. Например, исследования надежности показывают, что экспоненциальный закон достаточно хорошо описывает распределение до отказа в виде повреждений электрической дугой электромагнитных контакторов электровозов постоянного тока в период их эксплуатации после приработки до пробега 400—500 тыс. км. Это указывает на наличие экстремальных условий дугогашения, при которых возможен отказ аппарата.

В практике эксплуатации более распространена ситуация, когда свойства объектов изменяются, т. е. уровень допустимой нагрузки Sn снижается по мере возрастания t. Если такое снижение наступает достаточно быстро после момента <<Μ[τ], то закон распределения по форме изменяется.
Пусть первоначальные свойства нагрузки таковы, что в интервале (0—t0) нагрузка Sn=Sn.о>>S(t)макс, т. е. вероятность отказа в этом интервале достаточно мала. После момента t0 за малый интервал (t0—t1) свойства нагрузки ухудшаются до уровня Sn=Sn1, при котором становится ощутимой вероятность повреждения объектов пиками S(t) макс, как показано на рис. 8. Примером такого процесса может быть внезапное ускорение ухудшения свойств изоляции аппаратов, вызванное повышенными тепловыми нагрузками или увлажнением.
Закон распределения, соответствующий такой модели, можно записать в виде

(22)

Распределение будет двухпараметрическим (λ; t1), вид кривой плотности вероятностей см. на рис. 8. Этот закон носит название экспоненциального с порогом чувствительности, поскольку параметр характеризует некоторый «порог», до которого объект «не чувствует» нагрузки.
В теории надежности [10] отмечается также, что экспоненциальное распределение является предельной статистической моделью времени безотказной работы системы с большим числом последовательно соединенных в структурной схеме надежности элементов. Каждый из элементов не должен оказывать существенно большого влияния на вероятность отказа системы и не обязательно должен иметь экспоненциальное распределение времени безотказной работы.
Рассмотренные модели характерны для конструкционных отказов, когда можно допустить, что все экземпляры достаточно однородны по своим свойствам. Нарушение технологии в большинстве случаев ухудшает качество отдельных экземпляров или их отдельных групп. Очевидно, что и интенсивность отказов каждой из образовавшихся групп будет различной: изготовленных по нормальной технологии λι при доле их в общей массе ε, изготовленных с нарушениями технологии λ2 при доле (1—ε).
Плотность распределения времени безотказной работы для всех объектов будет определяться формулой+, выведенной на основе указанных предположений и оценки вероятности отказов групп.
Подводя итог рассмотренной модели мгновенного повреждения, следует заключить, что такая схема формирования потока отказов в идеальном случае отрицает необходимость выполнения профилактических замен элементов или их периодического ремонта. Поскольку причиной отказа является внешнее случайное воздействие, а свойства элементов неизменны, то замена старого элемента новым не изменяет момента наступления отказа при пике нагрузки. Повышение надежности в этом случае можно достигнуть улучшением конструкции, т. е. увеличением уровня свойств изделия Sп или снижением уровня пиков внешних воздействий S (t) макс.

Накапливающиеся повреждения.

В исходных положениях этой модели основное место занимает изнашивание, поскольку все элементы реально существующих систем претерпевают в течение периода эксплуатации необратимые изменения. Различают достаточно много видов изнашивания от внешнего трения в зависимости от видов микропроцессов: механическое, коррозионно-механическое, усталостное, эрозионное, абразивное, кавитационное и другие. В общем случае под износом понимают результат изнашивания, т. е. остаточные изменения физического состояния объектов не только от трения, но и по другим причинам (например, старение изоляции). 

Состояние объектов может быть оценено по конфигурации, степени чистоты поверхности и другим стереометрическим показателям, а также по химическому составу, физическим свойствам, напряжению и другим параметрам.

По формулам (19), (20), задаваясь тем или иным видом функции φ(t), можно получить математическое выражение законов распределения времени безотказной работы для разных случаев изнашивания. Изменения интенсивности отказов для наиболее характерных моделей приведены на рис. 10, а формулы <φ(t) и соответствующих законов — в табл. 2.
Если интенсивность увеличивается пропорционально  времени, т. е. φ(t)=λt, то распределение наработки до отказа у таких объектов описывается законом Релея. Износ объектов усиливается по мере нарастания наработки.
Когда интенсивность отказа элементов возрастает со временем, но имеется некоторый предел, то получается закон распределения Эрланга.
Если интенсивность отказов связана с наработкой нелинейно по некоторой степенной зависимости, то имеет место закон распределения наработки до отказа в более общем виде — закон Вейбулла—Гнеденко (см. табл. 2), из которого при r=1 можно получить закон Релея, r=0 —.экспоненциальный закон. При r<0 функция интенсивности отказов оказывается убывающей. В теории надежности этот закон применяется довольно часто, так как может быть использован для описания распределения времени безотказной работы многих реальных систем. Особенностью таких систем является наличие большого числа одинаковых или близких по конструкции элементов, находящихся в равных условиях эксплуатации. Отказ любого из этих элементов приводит к отказу системы. Закон распределения Вейбулла—Гнеденко хорошо описывает распределение времени безотказной работы многих

Рис. 11. Плотности вероятностей нормального закона (1) (а=5, σ=1) и гамма-распределения (2) (r =3, λ=3)
элементов радиоэлектронной аппаратуры, шариковых подшипников релейных систем [7, 10].

В некоторых практически важных моделях функция φ(t) не может быть выражена простой формулой. В теории  надежности большое значение придается модели, приводящей к гамма-распределению. Эта модель соответствует схеме износа объектов при следующих особенностях:
средняя скорость изнашивания объектов постоянна;
начальное качество объектов достаточно однородно;
скорость нарастания износа подвержена случайным вариациям.
Схема пригодна для случая, когда процессы приработки объектов занимают незначительное время. В процессе работы объекта происходят единичные, повреждения Δh, каждое из которых не приводит к отказу, а накопление некоторой их величины вызывает в конечном счете отказ.
Например, некоторый цикл работы пары щетка —  коллектор приводит к износу щетки на величину Δh. Отказ — замена щетки — наступит, когда износ достигнет и превысит допустимую величину [h] после r циклов работы, т. е. при . Очевидно, достижение этого предельного размера зависит от количества циклов и случайного размера нагрузки в цикле, при которой накопится износ в Δh. Меньшая нагрузка увеличивает продолжительность одного такого цикла, большая — сокращает.
Схему накапливающихся повреждений описывают гамма- распределением времени безотказной работы

Интенсивность отказов гамма-распределения — монотонно возрастающая функция, имеющая некоторый предел (см. рис. 10 и табл. 2). Вид функции плотности вероятности (несимметричная кривая) приведен на рис. 11. Увеличение параметра λ гамма-распределения симметрирует график его плотности вероятности относительно ординаты, проходящей через математическое ожидание M[t]=а. Дифференциальный закон распределения стремится к виду

В общем виде это формула известного закона нормального распределения
(24) который широко используется при анализе случайных величин и в теории вероятностей. Теоретическая кривая плотности нормального распределения имеет ветви, симметрично расходящиеся от t=a до t=+∞ и t=-∞. Поскольку в теории надежности t≥0, то применение закона нормального распределения целесообразно в тех случаях, когда вероятность отрицательных значений будет бесконечно мала и не снизит точность расчетов, т. е. Это оказывается возможным при
Нормальный закон описывает модель накапливающихся повреждений при однородном качестве объектов, постоянстве средней скорости изнашивания и «переплетении» реализаций износа.
Интенсивность отказов при нормальном распределении — возрастающая функция. Значения интенсивности отказов и плотности вероятностей привесьма малы на достаточно большом интервале. Вероятности отказа в этом интервале также малы (см. рис. 11), что говорит о важности профилактических мероприятий (замен, ремонтов), на небольших уровнях износа (сравните с экспоненциальным законом).
Например, известно, что нормальному закону подчиняется распределение наработки моторно-осевых подшипников (МОП) до отказа, признаками которого являются предельный зазор по износу или разрушение баббитовой заливки. Это вполне соответствует изложенным теоретическим обоснованиям. Однако параметры этого закона (средняя наработка до отказа и среднее квадратическое отклонение) существенно зависят от состояния технологии изготовления деталей МОП,
сборки этой сборочной единицы при формировании колесномоторного блока, технического обслуживания, качества смазки и условий токоотвода. Только применение торцовых токоотводов на электровозах постоянного тока позволило при прочих равных условиях значительно повысить работоспособность МОП.
Из прочих моделей отказов по изнашиванию целесообразно остановиться на схеме, которая описывается логарифмически-нормальным распределением.
Плотность распределения

Интенсивность отказов такого распределения выражается сложной функцией и характерна тем, что при малых t после возрастания наблюдается ее максимум при t=0, а при t>0 —  снижение.
Падение интенсивности отказов объясняется тем, что ко времени t=0 «погибают» экземпляры с высокой скоростью изнашивания, а износ оставшихся в работе нарастает значительно медленнее. В целом такое поведение всей системы выражает ее способность «приспосабливаться» к условиям нагружения, т. е. система имеет свойство тренируемости, приработки.
Известно, что накатка шеек валов и осей, поверхности коллекторов увеличивает их способность противостоять изнашиванию, т. е. происходит их упрочнение. Процесс упрочнения есть тоже своеобразная тренировка материала, когда за счет первоначальных деформаций уменьшается износ в последующей эксплуатации. Подобные процессы могут происходить и с объектами, т. е. уменьшение скорости нарастания износа объектов системы возможно не обязательно за счет «гибели» слабых, а именно за счет улучшения свойств в процессе приработки.
При эксплуатации коллекторных тяговых двигателей наблюдается такое явление, как «затяжка», заволакивание межламельных промежутков медью. Исследования показали, что распределение наработки до момента, когда затяжка достигает предельной величины и подлежит устранению, описывается логарифмически-нормальным законом. Очевидно, что это достаточно хорошо согласуется с физическим процессом образования заволакивания, который особенно интенсивен в начальный период эксплуатации коллектора после обточки, а затем заметно снижается.
Рассмотренные модели не охватывают всего многообразия возможных схем развития процессов, отказов. Можно указать на такие важные виды, как релаксационные модели, наложение различных моделей, приводящие к суперпозиции распределений. Математические выражения и физические обоснования этих моделей более сложны, чем в рассмотренных случаях [7]. Кроме моделей, приводящих к непрерывным распределениям, имеется ряд схем, дающих распределения дискретных случайных величин (см. табл. 1).
К биноминальному распределению приводит модель независимых многократно повторяемых испытаний, так называемых испытаний Бернулли. В каждом из них вероятность успеха р, число испытаний п. Подобного рода задачи могут возникнуть при организации приемочного контроля продукции, выборочном обследовании и во многих других случаях [4, 10].
Например, в процессе производства изделий вероятность выпуска дефектной продукции 9 %. Продукция принимается большими партиями, из которых случайным образом для контроля выбирается 20 деталей. Партия принимается, если в ней не более двух дефектных деталей. Какова вероятность принятия партии при таком контроле?
В данном случае х=2, n=20, р=0,09 и по формуле из табл. 1

Для вычислений применяют таблицы [4].
Распределение Пуассона используют при статистической модели, в которой события происходят независимо друг от друга с некоторой постоянной интенсивностью. Оно позволяет найти вероятность появления заданного числа событий в равные промежутки времени или пространства [4, 10]. Такой вид распределения имеют, например, повторности обточек коллекторов и круговых огней на коллекторах тяговых двигателей за некоторый период эксплуатации.
Рассмотрение идеализированных моделей показало, что они охватывают достаточно большой круг возможных схем \ развития процессов возникновения отказов. Очень важен тот факт, что каждая модель может быть описана своим законом распределения времени безотказной работы (наработки до отказа). Знание таких законов необходимо для решения многих практических задач надежности ТПС, как это будет показано в последующих главах.
Очевидно, что имеется и возможность определения причины отказа, если удается по эксплуатационным данным установить вид закона распределения. Это требует достаточного объема статистических данных и тщательной оценки достоверности результатов. Заманчиво определить причину отказов, руководствуясь только видом закона распределения. Но рассмотренные идеализированные схемы в «чистом» виде встречаются, к сожалению, редко, а при недостатке исходных данных можно сделать неправильные выводы и принять неправильную стратегию ремонтного обслуживания.
Так, например, и логарифмически-нормальное распределение, и распределение Вейбулла—Гнеденко в ряде случаев могут с достаточной точностью описать некоторое эмпирическое распределение. Если принять логарифмически-нормальный закон, то следует вывод о нерациональности профилактических мероприятий после некоторой наработки, поскольку интенсивность далее должна убывать. Если же реальная модель соответствует закону Вейбулла—Гнеденко, то сделанный вывод будет противоречить действительной необходимости проведения профилактических мероприятий, поскольку интенсивность отказов окажется возрастающей.